25 uždavinys

Sprendimas:

Kraštinės AB ilgis lygus x.

Kraštinės BC ilgis lygus kx.

Pagal sinusų teoremą

$$\frac{AB}{sin(a)} = \frac{BC}{sin(2\cdot a)}$$

$$\frac{x}{sin(a)} = \frac{k\cdot x}{sin(2\cdot a)}$$

$$\frac{x}{sin(a)} = \frac{k\cdot x}{2\cdot sin(a)\cdot cos(a)}$$, nes $$sin(2\cdot a) = 2\cdot sin(a)\cdot cos(a)$$.

$$1 = \frac{k}{2}\cdot cos(a)$$

$$cos(a) = \frac{k}{2}$$

Įrodyta.

0 < a < $$\frac{\pi}{3}$$ 

$$cos(0)$$ > $$cos(a)$$ > $$cos(\frac{\pi}{3})$$, nes cosinusas yra mažėjanti funkcija intervale (0; $$\frac{\pi}{3}$$).

$$cos(0)$$ > $$\frac{k}{2}$$ > $$cos(\frac{\pi}{3})$$

$$1$$ > $$\frac{k}{2}$$ > $$\frac{1}{2}$$

$$2$$ > $$k$$ > $$1$$

$$1$$ < $$k$$ < $$2$$

Atsakymas: k ∈ (1; 2)