jwUK4

Išspręskite lygčių sistemą

$$x^{2}+x\cdot y = 10$$

$$y^{2}+x\cdot y = 6$$

Sprendimas.

Išskaidome dauginamaisiais lygčių kairiasias puses:

$$x\cdot (x+y) = 10$$

$$y\cdot (y+x) = 6$$

Pirmą lygtį padaliname iš antros:

 

x* (x+y)

/ y/ (y+x)

  = 
 

10

/ 6

 

x* (x+y)

/ y/ (y+x)

 =  

10

/ 6

$$\frac{x\cdot (x+y)}{y\cdot (y+x)}$$ = $$\frac{10}{6}$$

$${\normalsize \frac{x\cdot (x+y)}{y\cdot (y+x)}}$$ = $${\normalsize \frac{x}{y}}$$

 

x

/ y

 =  

10

/ 6

$$\frac{x}{y}$$ = $$\frac{10}{6}$$

$${\normalsize \frac{10}{6}}$$ = $${\normalsize \frac{5}{3}}$$

 

x

/ y

 =  

5

/ 3

$$\frac{x}{y}$$ = $$\frac{5}{3}$$

x =  

5* y

/ 3

$$x$$ = $$\frac{5\cdot y}{3}$$

 x* 3 =  5* y$$x\cdot 3$$ = $$5\cdot y$$

 

x* 3

/ 5

 = y$$\frac{x\cdot 3}{5}$$ = $$y$$

y =  

x* 3

/ 5

$$y$$ = $$\frac{x\cdot 3}{5}$$

$$\frac{x\cdot (x+y)}{y\cdot (y+x)}$$  = $$\frac{10}{6}$$

$$\frac{x}{y}$$  = $$\frac{5}{3}$$

$$x\cdot 3$$  = $$5\cdot y$$

$$y$$  = $$\frac{x\cdot 3}{5}$$

x*(x+y)/y/(y+x)  =  10/6

x/y  =  5/3

x*3  =  5*y

y  =  x*3/5

Gautą y išraišką statome į pirmą lygtį:

 x* (x+y)  = 
10

 x* (x+y) = 10$$x\cdot (x+y)$$ = $$10$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize y}$$ = $${\normalsize \frac{3\cdot x}{5}}$$.

 x* (x+ 

3* x

/ 5

) = 10$$x\cdot (x+\frac{3\cdot x}{5})$$ = $$10$$

$${\normalsize x+\frac{3\cdot x}{5}}$$ = $${\normalsize \frac{8\cdot x}{5}}$$

 x* ( 

8* x

/ 5

) = 10$$x\cdot (\frac{8\cdot x}{5})$$ = $$10$$

$${\normalsize x\cdot (\frac{8\cdot x}{5})}$$ = $${\normalsize \frac{x\cdot 8\cdot x}{5}}$$

 

x* 8* x

/ 5

 = 10$$\frac{x\cdot 8\cdot x}{5}$$ = $$10$$

$${\normalsize \frac{x\cdot 8\cdot x}{5}}$$ = $${\normalsize \frac{8\cdot x^{2}}{5}}$$

 

8* x^2

/ 5

 = 10$$\frac{8\cdot x^{2}}{5}$$ = $$10$$

 8* x^² =  10* 5$$8\cdot x^{2}$$ = $$10\cdot 5$$

 x^² =  

10* 5

/ 8

$$x^{2}$$ = $$\frac{10\cdot 5}{8}$$

$${\normalsize 10\cdot 5}$$ = $${\normalsize 50}$$

 x^² =  

50

/ 8

$$x^{2}$$ = $$\frac{50}{8}$$

$${\normalsize \frac{50}{8}}$$ = $${\normalsize \frac{25}{4}}$$

 x^² =  

25

/ 4

$$x^{2}$$ = $$\frac{25}{4}$$

saknis( x^²) = saknis( 

25

/ 4

)$$\sqrt {x^{2}}$$ = $$\sqrt {\frac{25}{4}}$$

x = -saknis( 

25

/ 4

)$$x$$ = $$-\sqrt {\frac{25}{4}}$$

$${\normalsize \sqrt {\frac{25}{4}}}$$ = $${\normalsize \frac{5}{2}}$$

x = - 

5

/ 2

$$x$$ = $$-\frac{5}{2}$$

x = saknis( 

25

/ 4

)$$x$$ = $$\sqrt {\frac{25}{4}}$$

$${\normalsize \sqrt {\frac{25}{4}}}$$ = $${\normalsize \frac{5}{2}}$$

x =  

5

/ 2

$$x$$ = $$\frac{5}{2}$$

$$x\cdot (x+y)$$  = $$10$$

$$x\cdot (x+\frac{3\cdot x}{5})$$  = $$10$$

$$x\cdot (\frac{8\cdot x}{5})$$  = $$10$$

$$\frac{8\cdot x^{2}}{5}$$  = $$10$$

$$x^{2}$$  = $$\frac{10\cdot 5}{8}$$

$$x^{2}$$  = $$\frac{25}{4}$$

$$x$$  = $$-\frac{5}{2}$$

$$x$$  = $$\frac{5}{2}$$

x*(x+y)  =  10

x*(x+3*x/5)  =  10

x*(8*x/5)  =  10

8*x^2/5  =  10

x^2  =  10*5/8

x^2  =  25/4

x  =  -5/2

x  =  5/2

Gautas x reikšmes statome į y išraišką $$y = \frac{3\cdot x}{5}$$

kai $$x = -\frac{5}{2}$$, $$y = -\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{2} = -\frac{3}{2}$$.

kai $$x = \frac{5}{2}$$, $$y = \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$$.

Atsakymas: (  $$-\frac{5}{2}$$;  $$-\frac{3}{2}$$) ir ( $$\frac{5}{2}$$;  $$\frac{3}{2}$$)