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Sprendimas.

_BA  = 

_BA = $$\vec{BA}$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize \vec{BA}}$$ = $${\normalsize A-B}$$.

A-B = $$A-B$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize A}$$ = $${\normalsize (-1;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 4)}$$.

(-1;-2;4)-B = $$(-1;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 4)-B$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize B}$$ = $${\normalsize (-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)}$$.

(-1;-2;4)-(-4;-2;0) = $$(-1;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 4)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)$$ = 

$${\normalsize (-1;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 4)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)}$$ = $${\normalsize (-1+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 4-0)}$$

Paaiškinimas:

Sudedant vektorius sudedamos atitinkamos koordinatės

(-1+4;-2+2;4-0) = $$(-1+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 4-0)$$ = 

$${\normalsize -1+4}$$ = $${\normalsize 3}$$

(3;-2+2;4-0) = $$(3;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 4-0)$$ = 

$${\normalsize -2+2}$$ = $$0$$

(3;0;4-0) = $$(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4-0)$$ = 

(3;0;4)$$(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)$$

$$\vec{BA}$$  = $$$$

$$A-B$$  = $$$$

$$(-1;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 4)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)$$  = $$$$

$$(-1+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 4-0)$$  = $$$$

$$(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)$$ $$$$

_BA  = 

A-B  = 

(-1;-2;4)-(-4;-2;0)  = 

(-1+4;-2+2;4-0)  = 

(3;0;4)

_BC  = 

_BC = $$\vec{BC}$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize \vec{BC}}$$ = $${\normalsize C-B}$$.

C-B = $$C-B$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize C}$$ = $${\normalsize (3;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 1)}$$.

(3;-2;1)-B = $$(3;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 1)-B$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize B}$$ = $${\normalsize (-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)}$$.

(3;-2;1)-(-4;-2;0) = $$(3;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 1)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)$$ = 

$${\normalsize (3;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 1)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)}$$ = $${\normalsize (3+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 1-0)}$$

Paaiškinimas:

Sudedant vektorius sudedamos atitinkamos koordinatės

(3+4;-2+2;1-0) = $$(3+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 1-0)$$ = 

$${\normalsize 3+4}$$ = $${\normalsize 7}$$

(7;-2+2;1-0) = $$(7;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 1-0)$$ = 

$${\normalsize -2+2}$$ = $$0$$

(7;0;1-0) = $$(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1-0)$$ = 

(7;0;1)$$(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)$$

$$\vec{BC}$$  = $$$$

$$C-B$$  = $$$$

$$(3;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 1)-(-4;\ \ \ \ -2;\ \ \ \ 0)$$  = $$$$

$$(3+4;\ \ \ \ -2+2;\ \ \ \ 1-0)$$  = $$$$

$$(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)$$ $$$$

_BC  = 

C-B  = 

(3;-2;1)-(-4;-2;0)  = 

(3+4;-2+2;1-0)  = 

(7;0;1)

$$cos(a) = \frac{\vec{BA}\cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}|\cdot |\vec{BC}|}$$

 

_BA* _BC

/ ( | _BA |* | _BC |)

  = 

 

_BA* _BC

/ ( | _BA |* | _BC |)

 = $$\frac{\vec{BA}\cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}|\cdot |\vec{BC}|}$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize \vec{BA}}$$ = $${\normalsize (3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)}$$.

 

(3;0;4)* _BC

/ ( | (3;0;4) |* | _BC |)

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot \vec{BC}}{|(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)|\cdot |\vec{BC}|}$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize \vec{BC}}$$ = $${\normalsize (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}$$.

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( | (3;0;4) |* | (7;0;1) |)

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{|(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)|\cdot |(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)|}$$ = 

$${\normalsize |(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)|}$$ = $${\normalsize \sqrt {3^{2}+0^{2}+4^{2}}}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis( 3^2+ 0^2+ 4^2)* | (7;0;1) |)

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {3^{2}+0^{2}+4^{2}}\cdot |(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)|}$$ = 

$${\normalsize |(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)|}$$ = $${\normalsize \sqrt {7^{2}+0^{2}+1^{2}}}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis( 3^2+ 0^2+ 4^2)* saknis( 7^2+ 0^2+ 1^2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {3^{2}+0^{2}+4^{2}}\cdot \sqrt {7^{2}+0^{2}+1^{2}}}$$ = 

$${\normalsize 3^{2}+0^{2}}$$ = $${\normalsize 9}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis(9+ 4^2)* saknis( 7^2+ 0^2+ 1^2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {9+4^{2}}\cdot \sqrt {7^{2}+0^{2}+1^{2}}}$$ = 

$${\normalsize 9+4^{2}}$$ = $${\normalsize 25}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis(25)* saknis( 7^2+ 0^2+ 1^2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {25}\cdot \sqrt {7^{2}+0^{2}+1^{2}}}$$ = 

$${\normalsize 7^{2}+0^{2}}$$ = $${\normalsize 49}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis(25)* saknis(49+ 1^2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {25}\cdot \sqrt {49+1^{2}}}$$ = 

$${\normalsize 49+1^{2}}$$ = $${\normalsize 50}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( saknis(25)* saknis(50))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {25}\cdot \sqrt {50}}$$ = 

$${\normalsize \sqrt {25}}$$ = $${\normalsize 5}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( 5* saknis(50))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{5\cdot \sqrt {50}}$$ = 

$${\normalsize \sqrt {50}}$$ = $${\normalsize 5\cdot \sqrt {2}}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( 5* 5* saknis(2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{5\cdot 5\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize 5\cdot 5\cdot \sqrt {2}}$$ = $${\normalsize 25\cdot \sqrt {2}}$$

 

(3;0;4)* (7;0;1)

/ ( 25* saknis(2))

 = $$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{25\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize (3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}$$ = $${\normalsize (3\cdot 7+0\cdot 0+4\cdot 1)}$$

Paaiškinimas:

Vektorių skaliarinė sandauga - atitinkamų koordinačių sandaugų suma

 

( 3* 7+ 0* 0+ 4* 1)

/ ( 25* saknis(2))

 = $$\frac{3\cdot 7+0\cdot 0+4\cdot 1}{25\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize 3\cdot 7}$$ = $${\normalsize 21}$$

 

(21+ 0* 0+ 4* 1)

/ ( 25* saknis(2))

 = $$\frac{21+0\cdot 0+4\cdot 1}{25\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize 21+0\cdot 0}$$ = $${\normalsize 21}$$

 

(21+ 4* 1)

/ ( 25* saknis(2))

 = $$\frac{21+4\cdot 1}{25\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize 21+4\cdot 1}$$ = $${\normalsize 25}$$

 

(25)

/ ( 25* saknis(2))

 = $$\frac{25}{25\cdot \sqrt {2}}$$ = 

$${\normalsize \frac{25}{25\cdot \sqrt {2}}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{\sqrt {2}}}$$

 

1

/ saknis(2)

 = $$\frac{1}{\sqrt {2}}$$ = 

 

saknis(2)

/ 2

$$\frac{\sqrt {2}}{2}$$

$$\frac{\vec{BA}\cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}|\cdot |\vec{BC}|}$$  = $$$$

$$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{|(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)|\cdot |(7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)|}$$  = $$$$

$$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {3^{2}+0^{2}+4^{2}}\cdot \sqrt {7^{2}+0^{2}+1^{2}}}$$  = $$$$

$$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{\sqrt {25}\cdot \sqrt {50}}$$  = $$$$

$$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{5\cdot 5\cdot \sqrt {2}}$$  = $$$$

$$\frac{(3;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 4)\cdot (7;\ \ \ \ 0;\ \ \ \ 1)}{25\cdot \sqrt {2}}$$  = $$$$

$$\frac{3\cdot 7+0\cdot 0+4\cdot 1}{25\cdot \sqrt {2}}$$  = $$$$

$$\frac{25}{25\cdot \sqrt {2}}$$  = $$$$

$$\frac{1}{\sqrt {2}}$$  = $$$$

$$\frac{\sqrt {2}}{2}$$ $$$$

_BA*_BC/(|_BA|*|_BC|)  = 

(3;0;4)*(7;0;1)/(|(3;0;4)|*|(7;0;1)|)  = 

(3;0;4)*(7;0;1)/(saknis(3^2+0^2+4^2)*saknis(7^2+0^2+1^2))  = 

(3;0;4)*(7;0;1)/(saknis(25)*saknis(50))  = 

(3;0;4)*(7;0;1)/(5*5*saknis(2))  = 

(3;0;4)*(7;0;1)/(25*saknis(2))  = 

(3*7+0*0+4*1)/(25*saknis(2))  = 

(25)/(25*saknis(2))  = 

1/saknis(2)  = 

saknis(2)/2

a =  $$\frac{\pi}{4}$$

Atsakymas: $$\frac{\pi}{4}$$ arba 45 laipsniai