22 uždavinys

Martyna pasodino 10 tos pačios rūšies gėlių po vieną į 10 skirtingų spalvų vazonų. Vienas iš vazonų buvo mėlynas. Jos brolis Petras pasisiūlė palaistyti gėles, bet atsinešė per mažai vandens. Atsitiktinai jis pasirinko 6 gėles ir jas palaistė, o kitų nepalaistė.

1. Keliais skirtingais būdais Petras gali pasirinkti, kurias gėles palaistyti?

Sprendimas:

Parenkamos 6 gėlės iš 10.

C(⁶;₁₀)  = 

C(⁶;₁₀) = $$C_{10}^{6}$$ = 

Paaiškinimas:

 

10!

/ 6!/ (10-6)!

 = $$\frac{10!}{6!\cdot (10-6)!}$$ = 

 

10!

/ 6!/ 4!

 = $$\frac{10!}{6!\cdot 4!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* 10

/ 6!/ 4!

 = $$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{6!\cdot 4!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* 10

/ 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 4!

 = $$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 4!}$$ = 

 

7* 8* 9* 10

/ 4!

 = $$\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{4!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

7* 8* 9* 10

/ 1/ 2/ 3/ 4

 = $$\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$$ = 

 

7* 9* 10

/ 1/ 3

 = $$\frac{7\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 3}$$ = 

 

7* 3* 10

/ 1

 = $$\frac{7\cdot 3\cdot 10}{1}$$ = 

 

21* 10

/ 1

 = $$\frac{21\cdot 10}{1}$$ = 

210$$210$$

$$C_{10}^{6}$$  = $$$$

$$\frac{10!}{6!\cdot (10-6)!}$$  = $$$$

$$\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{4!}$$  = $$$$

$$\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$$  = $$$$

$$\frac{7\cdot 3\cdot 10}{1}$$  = $$$$

$$210$$ $$$$

C(6;10)  = 

10!/6!/(10-6)!  = 

7*8*9*10/4!  = 

7*8*9*10/1/2/3/4  = 

7*3*10/1  = 

210

Atsakymas: 210

2. Apskaičiuokite tikimybę, kad mėlyname vazone auganti gėlė nebus palaistyta.

Sprendimas:

Parinkti 6 gėles, kad nei viena neaugtų mėlyname vazone yra $$C_{9}^{6}$$ būdai:

C(⁶;₉)  = 

C(⁶;₉) = $$C_{9}^{6}$$ = 

Paaiškinimas:

 

9!

/ 6!/ (9-6)!

 = $$\frac{9!}{6!\cdot (9-6)!}$$ = 

 

9!

/ 6!/ 3!

 = $$\frac{9!}{6!\cdot 3!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9

/ 6!/ 3!

 = $$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{6!\cdot 3!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

1* 2* 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9

/ 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 3!

 = $$\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 3!}$$ = 

 

7* 8* 9

/ 3!

 = $$\frac{7\cdot 8\cdot 9}{3!}$$ = 

Paaiškinimas:

 

7* 8* 9

/ 1/ 2/ 3

 = $$\frac{7\cdot 8\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3}$$ = 

 

7* 8* 3

/ 1/ 2

 = $$\frac{7\cdot 8\cdot 3}{1\cdot 2}$$ = 

 

7* 4* 3

/ 1

 = $$\frac{7\cdot 4\cdot 3}{1}$$ = 

84$$84$$

$$C_{9}^{6}$$  = $$$$

$$\frac{9!}{6!\cdot (9-6)!}$$  = $$$$

$$\frac{7\cdot 8\cdot 9}{3!}$$  = $$$$

$$\frac{7\cdot 4\cdot 3}{1}$$  = $$$$

$$84$$ $$$$

C(6;9)  = 

9!/6!/(9-6)!  = 

7*8*9/3!  = 

7*4*3/1  = 

84

Tikimybė, kad mėlyname vazone auganti gėlė nebus palaistyta lygi $$\frac{84}{210} = \frac{2}{5} = 0.4$$

Atsakymas: 0.4

3. Tikimybė, kad palaistyta gėlė prigis, lygi 0,9, o kad nepalaistyta prigis, – lygi 0,3.

Apskaičiuokite tikimybę, kad mėlyname vazone auganti gėlė prigis.

Sprendimas:

Antroje dalyje radome, kad mėlyname vazone auganti gėlė nebus palaistyta, yra 0.4.

Vadinasi, kad ji bus palaistyta, tikimybė yra 1 - 0.4 = 0.6 (priešingas įvykis).

Tikimybė, kad gėlė bus palaistyta ir prigis, yra $$0.6\cdot 0.9$$.

Tikimybė, kad gėlė nebus palaistyta ir prigis, yra $$0.4\cdot 0.3$$

Sudedame šias tikimybes: $$0.6\cdot 0.9+0.4\cdot 0.3 = 0.54+0.12 = 0.66$$

Atsakymas: 0.66