21 uždavinys

Sprendimas:

Pagrindas - lygiakraštis trikampis. Lygiakraščio trikampio plotas $$S = \frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4}$$

 $$S = \frac{6^{2}\cdot \sqrt {3}}{4} = \frac{36\cdot \sqrt {3}}{4} = 9\cdot \sqrt {3}$$

------------------------------------------------------

Sprendimas:

Duotos prizmės aukštinė lygi 6.

Prizmės tūrio formulė $$V = S_{PAGR}\cdot h$$

Piramidės tūrio formulė $$V = \frac{1}{3}\cdot S_{PAGR}\cdot h$$

 $$S_{PAGR}\cdot 6 = \frac{1}{3}\cdot S_{PAGR}\cdot h$$

$$h = \frac{18\cdot S_{PAGR}}{S_{PAGR}}$$

 $$h = 18$$.

Piramidės  aukštinė trigubai didesnė už prizmės aukštinę.

Atsakymas: 18

------------------------------------------------------

Sprendimas:

Trikampiai ABC₁ ir ABC lygiašoniai, jų pagrindo AB vidurio taškas D. Todėl C₁D ir CD yra ne tik šių trikampių pusiaukraštinės, bet ir aukštinės.

Todėl C₁D ⊥ AB ir CD ⊥ AB.

------------------------------------------------------

Sprendimas:

Kampas tarp nurodytų plokštumų lygus kampui C₁DC.

Statinis prieš šį kampą CC₁ = 6.

Statinis prie šio kampo CD.

Pagal Pitagoro teoremą $$CD = \sqrt {AC^{2}-AD^{2}} = \sqrt {6^{2}-3^{2}} = \sqrt {36-9} = \sqrt {27} = 3\cdot \sqrt {3}$$

Tangentas - tai statinių CC₁ ir CD santykis:

  $$\frac{6}{3\cdot \sqrt {3}} = \frac{6\cdot \sqrt {3}}{3\cdot \sqrt {3}\cdot \sqrt {3}} = \frac{6\cdot \sqrt {3}}{3\cdot 3} = \frac{2\cdot \sqrt {3}}{3}$$

Atsakymas: $$\frac{2\cdot \sqrt {3}}{3}$$