26 uždavinys

Sprendimas:

Norint rasti geometrinės progresijos vardiklį, užteks rasti pirmo ir antro narių santykį $$q = \frac{c}{b}$$

Aritmetinės progresijos vidurinis narys lygus savo kaimynų aritmetiniam vidurkiui:

$$b = \frac{a+c}{2}$$

$$a+c = 2\cdot b$$

$$a = 2\cdot b-c$$   (1)

Geometrinės progresijos vidurinys narys lygus savo kaimynų geometriniam vidurkiui:

$$c = \sqrt {b\cdot a}$$

$$c^{2} = a\cdot b$$

$$a = \frac{c^{2}}{b}$$   (2)

Lygčių (1) ir (2) kairiosios pusės lygios, todėl sulyginame jų dešiniasias puses:

$$\frac{c^{2}}{b} = 2\cdot b-c$$, abi lygties puses daliname iš b:

$$\frac{c^{2}}{b^{2}} = 2-\frac{c}{b}$$

$$(\frac{c}{b})^{2} = 2-\frac{c}{b}$$

Pažymėkime trupmeną $$\frac{c}{b} = q$$

$$q^{2} = 2-q$$

$$q^{2}+q-2 = 0$$

     $$D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 1^{2}-4\cdot 1\cdot (-2) = 1+8 = 9$$

     $$q_{1} = (-1-\sqrt {9}) = \frac{-1-3}{2} = -\frac{4}{2} = -2$$.

     $$q_{2} = (-1+\sqrt {9}) = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$, netinka, nes jei q būtų lygus 1, visi geometrinės progresijos nariai būtų vienodi. O pasakyta, kad a ≠ b.

Atsakymas: - 2