Ar1sY

Kampo tarp vektorių a ir b didumas 120. Žinoma, kad |a| = 3, |b| = 4. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą (3a2b)(a+2b)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b}).

Sprendimas.

 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b)  = 
 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b) = (3a2b)(a+2b)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b}) = 
(3a2b)(a+2b){\normalsize (3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})} = (3aa+3a2b2ba2b2b){\normalsize (3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})}
( 3* _a* _a+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3aa+3a2b2ba2b2b)(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
3aa{\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}} = 3a2{\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}}
( 3* _a^2+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3a2+3a2b2ba2b2b)(3\cdot \vec{a}^{2}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
3a2b{\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}} = 6ab{\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3a2+6ab2ba2b2b)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
2ba{\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}} = 2ab{\normalsize 2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 2* _b* 2* _b) = (3a2+6ab2ab2b2b)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
2b2b{\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}} = 4b2{\normalsize 4\cdot \vec{b}^{2}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 4* _b^2) = (3a2+6ab2ab4b2)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}) = 
6ab2ab{\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}} = 4ab{\normalsize 4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 4* _a* _b- 4* _b^2) = (3a2+4ab4b2)(3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}) = 
(3a2+4ab4b2){\normalsize (3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})} = 3a2+4ab4b2{\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}}
 3* _a^2+ 4* _a* _b- 4* _b^2 = 3a2+4ab4b23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2} = 
ab{\normalsize \vec{a}\cdot \vec{b}} = abcos(α){\normalsize |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)}
Paaiškinimas:
Vektorių skaliarinė sandauga
 3* _a^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^2 = 3a2+4abcos(α)4b23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^2 = 332+4abcos(α)4b23\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* 4^2 = 332+4abcos(α)4423\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(120)- 4* 4^2 = 332+4abcos(120)4423\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* 3* | _b |* cos(120)- 4* 4^2 = 332+43bcos(120)4423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 332+434cos(120)4423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
332{\normalsize 3\cdot 3^{2}} = 27{\normalsize 27}
27+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 27+434cos(120)44227+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
43{\normalsize 4\cdot 3} = 12{\normalsize 12}
27+ 12* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 27+124cos(120)44227+12\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
124{\normalsize 12\cdot 4} = 48{\normalsize 48}
27+ 48* cos(120)- 4* 4^2 = 27+48cos(120)44227+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
cos(120){\normalsize cos(120)} = 12{\normalsize -\frac{1}{2}}
27- 
 48* 1
/ 2
- 4* 4^2
 = 27481244227-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2} = 
4812{\normalsize \frac{48\cdot 1}{2}} = 24{\normalsize 24}
27-24- 4* 4^2 = 272444227-24-4\cdot 4^{2} = 
Laipsnis: a^n = a * a * a ... a, čia a = 4, n = 2
27-24- 4* 4* 4 = 272444427-24-4\cdot 4\cdot 4 = 
44{\normalsize 4\cdot 4} = 16{\normalsize 16}
27-24- 4* 16 = 272441627-24-4\cdot 16 = 
416{\normalsize 4\cdot 16} = 64{\normalsize 64}
27-24-64 = 27246427-24-64 = 
2724{\normalsize 27-24} = 3{\normalsize 3}
3-64 = 3643-64 = 
364{\normalsize 3-64} = 61{\normalsize -61}
-6161-61
(3a2b)(a+2b)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})  = 
(3aa+3a2b2ba2b2b)(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})  = 
(3a2+6ab2ab4b2)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})  = 
3a2+4ab4b23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}  = 
3a2+4abcos(α)4b23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2}  = 
332+434cos(120)4423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}  = 
27+48cos(120)44227+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}  = 
27481244227-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2}  = 
27246427-24-64  = 
3643-64  = 
61-61

Atsakymas: - 61