Ar1sY

Kampo tarp vektorių a ir b didumas 120. Žinoma, kad |a| = 3, |b| = 4. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą (3⋅a⃗−2⋅b⃗)⋅(a⃗+2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b}).

Sprendimas.

 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b)  = 
 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b) = (3⋅a⃗−2⋅b⃗)⋅(a⃗+2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b}) = 
(3⋅a⃗−2⋅b⃗)⋅(a⃗+2⋅b⃗){\normalsize (3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})} = (3⋅a⃗⋅a⃗+3⋅a⃗⋅2⋅b⃗−2⋅b⃗⋅a⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗){\normalsize (3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})}
( 3* _a* _a+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3⋅a⃗⋅a⃗+3⋅a⃗⋅2⋅b⃗−2⋅b⃗⋅a⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
3⋅a⃗⋅a⃗{\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}} = 3⋅a⃗2{\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}}
( 3* _a^2+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3⋅a⃗2+3⋅a⃗⋅2⋅b⃗−2⋅b⃗⋅a⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}^{2}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
3⋅a⃗⋅2⋅b⃗{\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}} = 6⋅a⃗⋅b⃗{\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = (3⋅a⃗2+6⋅a⃗⋅b⃗−2⋅b⃗⋅a⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
2⋅b⃗⋅a⃗{\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}} = 2⋅a⃗⋅b⃗{\normalsize 2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 2* _b* 2* _b) = (3⋅a⃗2+6⋅a⃗⋅b⃗−2⋅a⃗⋅b⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}) = 
2⋅b⃗⋅2⋅b⃗{\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}} = 4⋅b⃗2{\normalsize 4\cdot \vec{b}^{2}}
( 3* _a^2+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 4* _b^2) = (3⋅a⃗2+6⋅a⃗⋅b⃗−2⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗2)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}) = 
6⋅a⃗⋅b⃗−2⋅a⃗⋅b⃗{\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}} = 4⋅a⃗⋅b⃗{\normalsize 4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}
( 3* _a^2+ 4* _a* _b- 4* _b^2) = (3⋅a⃗2+4⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗2)(3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}) = 
(3⋅a⃗2+4⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗2){\normalsize (3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})} = 3⋅a⃗2+4⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗2{\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}}
 3* _a^2+ 4* _a* _b- 4* _b^2 = 3⋅a⃗2+4⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2} = 
a⃗⋅b⃗{\normalsize \vec{a}\cdot \vec{b}} = ∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α){\normalsize |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)}
Paaiškinimas:
Vektorių skaliarinė sandauga
 3* _a^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^2 = 3⋅a⃗2+4⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)−4⋅b⃗23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^2 = 3⋅32+4⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)−4⋅b⃗23\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* 4^2 = 3⋅32+4⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)−4⋅423\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* | _a |* | _b |* cos(120)- 4* 4^2 = 3⋅32+4⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(120)−4⋅423\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* 3* | _b |* cos(120)- 4* 4^2 = 3⋅32+4⋅3⋅∣b⃗∣⋅cos(120)−4⋅423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
 3* 3^2+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 3⋅32+4⋅3⋅4⋅cos(120)−4⋅423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
3⋅32{\normalsize 3\cdot 3^{2}} = 27{\normalsize 27}
27+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 27+4⋅3⋅4⋅cos(120)−4⋅4227+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
4⋅3{\normalsize 4\cdot 3} = 12{\normalsize 12}
27+ 12* 4* cos(120)- 4* 4^2 = 27+12⋅4⋅cos(120)−4⋅4227+12\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
12⋅4{\normalsize 12\cdot 4} = 48{\normalsize 48}
27+ 48* cos(120)- 4* 4^2 = 27+48⋅cos(120)−4⋅4227+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2} = 
cos(120){\normalsize cos(120)} = −12{\normalsize -\frac{1}{2}}
27- 
 48* 1
/ 2
- 4* 4^2 = 27−48⋅12−4⋅4227-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2} = 
48⋅12{\normalsize \frac{48\cdot 1}{2}} = 24{\normalsize 24}
27-24- 4* 4^2 = 27−24−4⋅4227-24-4\cdot 4^{2} = 
Laipsnis: a^n = a * a * a ... a, čia a = 4, n = 2
27-24- 4* 4* 4 = 27−24−4⋅4⋅427-24-4\cdot 4\cdot 4 = 
4⋅4{\normalsize 4\cdot 4} = 16{\normalsize 16}
27-24- 4* 16 = 27−24−4⋅1627-24-4\cdot 16 = 
4⋅16{\normalsize 4\cdot 16} = 64{\normalsize 64}
27-24-64 = 27−24−6427-24-64 = 
27−24{\normalsize 27-24} = 3{\normalsize 3}
3-64 = 3−643-64 = 
3−64{\normalsize 3-64} = −61{\normalsize -61}
-61−61-61
(3⋅a⃗−2⋅b⃗)⋅(a⃗+2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})  = 
(3⋅a⃗⋅a⃗+3⋅a⃗⋅2⋅b⃗−2⋅b⃗⋅a⃗−2⋅b⃗⋅2⋅b⃗)(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})  = 
(3⋅a⃗2+6⋅a⃗⋅b⃗−2⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗2)(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})  = 
3⋅a⃗2+4⋅a⃗⋅b⃗−4⋅b⃗23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}  = 
3⋅a⃗2+4⋅∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos(α)−4⋅b⃗23\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2}  = 
3⋅32+4⋅3⋅4⋅cos(120)−4⋅423\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}  = 
27+48⋅cos(120)−4⋅4227+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}  = 
27−48⋅12−4⋅4227-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2}  = 
27−24−6427-24-64  = 
3−643-64  = 
−61-61

Atsakymas: - 61

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