Ar1sY

Kampo tarp vektorių a ir b didumas 120. Žinoma, kad |a| = 3, |b| = 4. Apskaičiuokite skaliarinę sandaugą $$(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})$$.

Sprendimas.

 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b)  = 

 ( 3* _a- 2* _b)* (_a+ 2* _b) = $$(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})$$ = 

$${\normalsize (3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})}$$ = $${\normalsize (3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})}$$

( 3* _a* _a+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = $$(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})$$ = 

$${\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}}$$ = $${\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}}$$

( 3* _a^²+ 3* _a* 2* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = $$(3\cdot \vec{a}^{2}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})$$ = 

$${\normalsize 3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}}$$ = $${\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}$$

( 3* _a^²+ 6* _a* _b- 2* _b* _a- 2* _b* 2* _b) = $$(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})$$ = 

$${\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}}$$ = $${\normalsize 2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}$$

( 3* _a^²+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 2* _b* 2* _b) = $$(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})$$ = 

$${\normalsize 2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b}}$$ = $${\normalsize 4\cdot \vec{b}^{2}}$$

( 3* _a^²+ 6* _a* _b- 2* _a* _b- 4* _b^²) = $$(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})$$ = 

$${\normalsize 6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}$$ = $${\normalsize 4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}}$$

( 3* _a^²+ 4* _a* _b- 4* _b^²) = $$(3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})$$ = 

$${\normalsize (3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})}$$ = $${\normalsize 3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}}$$

 3* _a^²+ 4* _a* _b- 4* _b^² = $$3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}$$ = 

$${\normalsize \vec{a}\cdot \vec{b}}$$ = $${\normalsize |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)}$$

Paaiškinimas:

Vektorių skaliarinė sandauga

 3* _a^²+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^² = $$3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2}$$ = 

 3* 3^²+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* _b^² = $$3\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2}$$ = 

 3* 3^²+ 4* | _a |* | _b |* cos(α)- 4* 4^² = $$3\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot 4^{2}$$ = 

 3* 3^²+ 4* | _a |* | _b |* cos(120)- 4* 4^² = $$3\cdot 3^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

 3* 3^²+ 4* 3* | _b |* cos(120)- 4* 4^² = $$3\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot |\vec{b}|\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

 3* 3^²+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^² = $$3\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

$${\normalsize 3\cdot 3^{2}}$$ = $${\normalsize 27}$$

27+ 4* 3* 4* cos(120)- 4* 4^² = $$27+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

$${\normalsize 4\cdot 3}$$ = $${\normalsize 12}$$

27+ 12* 4* cos(120)- 4* 4^² = $$27+12\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

$${\normalsize 12\cdot 4}$$ = $${\normalsize 48}$$

27+ 48* cos(120)- 4* 4^² = $$27+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$ = 

$${\normalsize cos(120)}$$ = $${\normalsize -\frac{1}{2}}$$

27- 

48* 1

/ 2

- 4* 4^² = $$27-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2}$$ = 

$${\normalsize \frac{48\cdot 1}{2}}$$ = $${\normalsize 24}$$

27-24- 4* 4^² = $$27-24-4\cdot 4^{2}$$ = 

Laipsnis: a^n = a * a * a ... a, čia a = 4, n = 2

27-24- 4* 4* 4 = $$27-24-4\cdot 4\cdot 4$$ = 

$${\normalsize 4\cdot 4}$$ = $${\normalsize 16}$$

27-24- 4* 16 = $$27-24-4\cdot 16$$ = 

$${\normalsize 4\cdot 16}$$ = $${\normalsize 64}$$

27-24-64 = $$27-24-64$$ = 

$${\normalsize 27-24}$$ = $${\normalsize 3}$$

3-64 = $$3-64$$ = 

$${\normalsize 3-64}$$ = $${\normalsize -61}$$

-61$$-61$$

$$(3\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b})\cdot (\vec{a}+2\cdot \vec{b})$$  = $$$$

$$(3\cdot \vec{a}\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{a}\cdot 2\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{b}\cdot \vec{a}-2\cdot \vec{b}\cdot 2\cdot \vec{b})$$  = $$$$

$$(3\cdot \vec{a}^{2}+6\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-2\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2})$$  = $$$$

$$3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot \vec{a}\cdot \vec{b}-4\cdot \vec{b}^{2}$$  = $$$$

$$3\cdot \vec{a}^{2}+4\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\alpha)-4\cdot \vec{b}^{2}$$  = $$$$

$$3\cdot 3^{2}+4\cdot 3\cdot 4\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$  = $$$$

$$27+48\cdot cos(120)-4\cdot 4^{2}$$  = $$$$

$$27-\frac{48\cdot 1}{2}-4\cdot 4^{2}$$  = $$$$

$$27-24-64$$  = $$$$

$$3-64$$  = $$$$

$$-61$$ $$$$

(3*_a-2*_b)*(_a+2*_b)  = 

(3*_a*_a+3*_a*2*_b-2*_b*_a-2*_b*2*_b)  = 

(3*_a^2+6*_a*_b-2*_a*_b-4*_b^2)  = 

3*_a^2+4*_a*_b-4*_b^2  = 

3*_a^2+4*|_a|*|_b|*cos(α)-4*_b^2  = 

3*3^2+4*3*4*cos(120)-4*4^2  = 

27+48*cos(120)-4*4^2  = 

27-48*1/2-4*4^2  = 

27-24-64  = 

3-64  = 

-61

Atsakymas: - 61