Keletas vienodo galingumo ekskavatorių, dirbdami kartu, gali iškasti duobę per 24 valandas. Tačiau jie pradėjo dirbti vienas po kito vienodais laiko tarpais, o duobę kasti baigė kartu. Kiek laiko buvo kasama duobė, jei pirmasis ekskavatorius, pradėjęs darbą, dirbo 5 kartus ilgiau, nei paskutinysis pradėjęs darbą?
Sprendimas.
Dirbo n ekskavatorių. Vienas ekskavatorius per valandą iškasa 1 žemės tūrio matavimo vienetą.
Pirmasis dirbo x valandų, paskutinis 5 kartus mažiau už pirmąjį, t.y. $$\frac{x}{5}$$. Kadangi jie pradėjo dirbti vienodais laiko tarpais vienas po kito, jų pradirbti laikai sudaro aritmetinę progresiją. Pagal aritmetinės progresijos sumos formulę $$S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}$$ visi ekskavatoriai iškasė $$\frac{(\frac{x}{5}+x)\cdot n}{2}$$ žemės tūrio matavimo vienetų.
Kadangi jie dirbdami kartu duobę iškastų per 24 val, duobės dydis yra 24 n žemės tūrio matavimo vienetų:
=
24* n
= 24* n$$\frac{(\frac{x}{5}+x)\cdot n}{2}$$ = $$24\cdot n$$ ( +x)* n = 24* 2* n$$(\frac{x}{5}+x)\cdot n$$ = $$24\cdot 2\cdot n$$ +x = $$\frac{x}{5}+x$$ = $$\frac{24\cdot 2\cdot n}{n}$$ = $$\frac{x}{5}$$ = $$\frac{48}{6}$$ x = $$x$$ = $$\frac{48\cdot 5}{6}$$
$$\frac{(\frac{x}{5}+x)\cdot n}{2}$$ = $$24\cdot n$$
$$\frac{x}{5}+x$$ = $$\frac{24\cdot 2\cdot n}{n}$$
$$\frac{6\cdot x}{5}$$ = $$48$$
$$x$$ = $$\frac{48\cdot 5}{6}$$
$$x$$ = $$\frac{8\cdot 5}{1}$$
Atsakymas: 40 valandų