22 uždavinys

Apskritimo su centru O spindulio ilgis lygus 1.  ∠BOC = 90

Apskritimo stygos AB ir AC yra lygios. Apskaičiuokite pilkosios dalies ABOC plotą.

Sprendimas.

∠BAC yra įbrėžtinis, jis lygus pusei centrinio kampo ∠BOC, nes abu remiasi į tą pačią stygą.
∠BAC = 45.

Trikampiai AOB ir AOC lygūs (pagal tris kraštines: AO bendra, AB = AC, OB = OC),

todėl ∠BAO = ∠OAC = 45/2 = 22.5

Trikampis AOB lygiašonis (AO = OB), todėl ∠ABO = ∠BAO = 22.5

Pagal trikampių sunos formulę ∠AOB = 180 - ∠ABO -∠BAO = 180 - 22,5 - 22,5 = 135.

Trikampio AOB plotas pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų: $$S = \frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin(C)$$.

S_△AOB = $$\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot sin(135) = \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt {2}}{2} = \frac{\sqrt {2}}{4}$$

Kadangi trikampis AOB sudaro tik pusę ieškomo ploto (△AOB = △AOC),

visas plotas yra 2 * S_△AOB = $$\frac{2\cdot \sqrt {2}}{4} = \frac{\sqrt {2}}{2}$$

Atsakymas: $$\frac{\sqrt {2}}{2}$$