25 uždavinys

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = sin(x) + a grafikas intervale $$-\frac{\pi}{2}$$ <= x <= $$\frac{3\cdot \pi}{2}$$;  čia a – realusis 

skaičius. Funkcijos didžiausia reikšmė šiame intervale lygi 4, o mažiausia reikšmė lygi 2. 

1.Raskite skaičių a.

2. Per funkcijos grafiko tašką, kurio abscisė  x₀ = π, nubrėžta liestinė. Kokio didumo 

kampą sudaro ši liestinė su teigiamąja ašies Ox kryptimi?

3. Apskaičiuokite figūros, kurią riboja funkcijos  f(x) =  sin(x) + a grafikas ir tiesės y = 0, $$x = -\frac{\pi}{2}$$,  $$x = \frac{\pi}{2}$$, plotą. 

 Sprendimas.

1. Didžiausia reikšmė 4:

4 = sin(x) + a.

sin(x) didžiausia reikšmė yra 1:

4 = 1 + a,

a = 3, y = sin(x) + 3

Atsakymas: 3

2. Norint rasti liestinės kampą, reikia rasti išvestinę tame taške.

 (sin(x)+4)′  = 

 (sin(x)+4)′ = $$(sin(x)+4)'$$ = 

$${\normalsize (sin(x)+4)'}$$ = $${\normalsize sin(x)'+4'}$$

Paaiškinimas:

Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′

 sin(x)′+ 4′ = $$sin(x)'+4'$$ = 

$${\normalsize 4'}$$ = $$0$$

Paaiškinimas:

Konstantos išvestinė yra 0

 sin(x)′+0 = $$sin(x)'+0$$ = 

 sin(x)′ = $$sin(x)'$$ = 

$${\normalsize sin(x)'}$$ = $${\normalsize cos(x)}$$

Paaiškinimas:

sin(x) išvestinė yra cos(x)

cos(x) = $$cos(x)$$ = 

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize x}$$ = $${\normalsize \pi}$$.

cos(π) = $$cos(\pi)$$ = 

$${\normalsize cos(\pi)}$$ = $${\normalsize -1}$$

-1$$-1$$

$$(sin(x)+4)'$$  = $$$$

$$sin(x)'$$  = $$$$

$$cos(x)$$  = $$$$

$$cos(\pi)$$  = $$$$

$$-1$$ $$$$

(sin(x)+4)′  = 

sin(x)′  = 

cos(x)  = 

cos(π)  = 

-1

Liestinės kampo tangentas = -1,

kampas yra 135 laipsniai.

Atsakymas: 135

3. Norint rasti plotą, reikia apskaičiuoti funkcijos y apibrėžtinį intergralą tarp taškų $$x = -\frac{\pi}{2}$$ ir $$x = \frac{\pi}{2}$$

∫(_-π/2;^π/2;sin(x)+3)  = 

∫(_-π/2;^π/2;sin(x)+3) = $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3)$$ = 

$${\normalsize \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3)}$$ = $${\normalsize (-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}}$$

Paaiškinimas:

sin(x) integralas
Konstantos c integralas yra cx, čia c = 3

|(_-π/2;^π/2;-cos(x)+ 3* x) = $$(-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}$$ = 

$${\normalsize (-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}}$$ = $${\normalsize ((-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2})))}$$

Paaiškinimas:

$${\normalsize (F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a)}$$, čia F(x) = -cos(x)+3*x a = -π/2, b = π/2

(-cos( 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

)-(-cos(- 

π

/ 2

)+ 3* (- 

π

/ 2

)) = $$(-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2}))$$ = 

-cos( 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

-(-cos(- 

π

/ 2

)+ 3* (- 

π

/ 2

)) = $$-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2}))$$ = 

-cos( 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

+cos(- 

π

/ 2

)- 3* (- 

π

/ 2

) = $$-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})-3\cdot (-\frac{\pi}{2})$$ = 

$${\normalsize 3\cdot (-\frac{\pi}{2})}$$ = $${\normalsize -\frac{3\cdot \pi}{2}}$$

-cos( 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

+cos(- 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

 = $$-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

-cos( 

π

/ 2

)+cos(- 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

+ 

3* π

/ 2

 = $$-cos(\frac{\pi}{2})+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

$${\normalsize cos(\frac{\pi}{2})}$$ = $$0$$

-0+cos(- 

π

/ 2

)+ 

3* π

/ 2

+ 

3* π

/ 2

 = $$-0+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

$${\normalsize cos(-\frac{\pi}{2})}$$ = $$0$$

-0+0+ 

3* π

/ 2

+ 

3* π

/ 2

 = $$-0+0+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

0+ 

3* π

/ 2

+ 

3* π

/ 2

 = $$0+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

 

3* π

/ 2

+ 

3* π

/ 2

 = $$\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$ = 

$${\normalsize \frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}}$$ = $${\normalsize 3\cdot \pi}$$

 3* π$$3\cdot \pi$$

$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (sin(x)+3)$$  = $$$$

$$(-cos(x)+3\cdot x){\LARGE |}_{-\pi/2}^{\pi/2}$$  = $$$$

$$(-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2})-(-cos(-\frac{\pi}{2})+3\cdot (-\frac{\pi}{2}))$$  = $$$$

$$-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})-3\cdot (-\frac{\pi}{2})$$  = $$$$

$$-cos(\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}$$  = $$$$

$$-cos(\frac{\pi}{2})+cos(-\frac{\pi}{2})+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$  = $$$$

$$-0+0+\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$  = $$$$

$$\frac{3\cdot \pi}{2}+\frac{3\cdot \pi}{2}$$  = $$$$

$$3\cdot \pi$$ $$$$

∫(-π/2;π/2;sin(x)+3)  = 

|(-π/2;π/2;-cos(x)+3*x)  = 

(-cos(π/2)+3*π/2)-(-cos(-π/2)+3*(-π/2))  = 

-cos(π/2)+3*π/2+cos(-π/2)-3*(-π/2)  = 

-cos(π/2)+3*π/2+cos(-π/2)+3*π/2  = 

-cos(π/2)+cos(-π/2)+3*π/2+3*π/2  = 

-0+0+3*π/2+3*π/2  = 

+3*π/2+3*π/2  = 

3*π

Atsakymas: $$3\cdot \pi$$