24 uždavinys

1.

Sprendimas.

Ritinio tūris $$V = \pi\cdot r^{2}\cdot h$$, r = 6, aukštis h  = 2x, nes vandens paviršius liečia rutuliuką.

Ritinio tūris $$V_{rit} = \pi\cdot 6^{2}\cdot 2\cdot x = 72\cdot \pi\cdot x$$.

Rutuliuko tūris yra $$\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3}$$.

Vandens tūris $$72\cdot \pi\cdot x-\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3}$$

2. Koks turi būti rutuliuko spindulio ilgis x, kad taip įpilto į indą vandens tūris būtų didžiausias?

Sprendimas.

Funkcijos $$72\cdot \pi\cdot x-\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3}$$ išvestinę prilyginsime nuliui:

 ( 72* π* x- 

4

/ 3

* π* x^³)′  = 
0

 ( 72* π* x- 

4

/ 3

* π* x^³)′ = 0$$(72\cdot \pi\cdot x-\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$ = $$0$$

$${\normalsize (72\cdot \pi\cdot x-\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'}$$ = $${\normalsize (72\cdot \pi\cdot x)'-(\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'}$$

Paaiškinimas:

Sumos išvestinė (f+g)′ = f′ + g′

 ( 72* π* x)′- ( 

4

/ 3

* π* x^³)′ = 0$$(72\cdot \pi\cdot x)'-(\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$ = $$0$$

$${\normalsize (72\cdot \pi\cdot x)'}$$ = $${\normalsize 72\cdot \pi}$$

Paaiškinimas:

x išvestinė yra 1

 72* π- ( 

4

/ 3

* π* x^³)′ = 0$$72\cdot \pi-(\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$ = $$0$$

$${\normalsize (\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'}$$ = $${\normalsize 4\cdot \pi\cdot x^{2}}$$

Paaiškinimas:

Laipsnio išvestinė, kur n = 3

 72* π- 4* π* x^² = 0$$72\cdot \pi-4\cdot \pi\cdot x^{2}$$ = $$0$$

 72* π = 0+ 4* π* x^²$$72\cdot \pi$$ = $$0+4\cdot \pi\cdot x^{2}$$

 72* π =  4* π* x^²$$72\cdot \pi$$ = $$4\cdot \pi\cdot x^{2}$$

 

72* π

/ 4

 =  π* x^²$$\frac{72\cdot \pi}{4}$$ = $$\pi\cdot x^{2}$$

 

72* π

/ 4/ π

 =  x^²$$\frac{72\cdot \pi}{4\cdot \pi}$$ = $$x^{2}$$

$${\normalsize \frac{72\cdot \pi}{4\cdot \pi}}$$ = $${\normalsize 18}$$

18 =  x^²$$18$$ = $$x^{2}$$

saknis(18) = saknis( x^²)$$\sqrt {18}$$ = $$\sqrt {x^{2}}$$

$${\normalsize \sqrt {x^{2}}}$$ = $${\normalsize x}$$

saknis(18) = x$$\sqrt {18}$$ = $$x$$

$${\normalsize \sqrt {18}}$$ = $${\normalsize 3\cdot \sqrt {2}}$$

 3* saknis(2) = x$$3\cdot \sqrt {2}$$ = $$x$$

$$(72\cdot \pi\cdot x-\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$  = $$0$$

$$(72\cdot \pi\cdot x)'-(\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$  = $$0$$

$$72\cdot \pi-(\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot x^{3})'$$  = $$0$$

$$72\cdot \pi-4\cdot \pi\cdot x^{2}$$  = $$0$$

$$72\cdot \pi$$  = $$4\cdot \pi\cdot x^{2}$$

$$\frac{72\cdot \pi}{4\cdot \pi}$$  = $$x^{2}$$

$$18$$  = $$x^{2}$$

$$\sqrt {18}$$  = $$\sqrt {x^{2}}$$

$$3\cdot \sqrt {2}$$  = $$x$$

(72*π*x-4/3*π*x^3)′  =  0

(72*π*x)′-(4/3*π*x^3)′  =  0

72*π-(4/3*π*x^3)′  =  0

72*π-4*π*x^2  =  0

72*π  =  4*π*x^2

72*π/4/π  =  x^2

18  =  x^2

saknis(18)  =  saknis(x^2)

3*saknis(2)  =  x

Atsakymas:$$3\cdot \sqrt {2}$$