25 uždavinys
1. Nustatykite funkcijos f(x) apibrėžimo sritį
Sprendimas.
x^2- 7* x+10 >
0
0
|
x^2- 7* x+10 > 0$$x^{2}-7\cdot x+10$$ > $$0$$
$${\normalsize x^{2}-7\cdot x+10}$$ = $${\normalsize (x-5)\cdot (x-2)}$$ Paaiškinimas:
Paaiškinimas: Kvadratinis trinaris $${\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$$, kur
a = 1, b = -7, c = 10.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-40}$$ = 9.
x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2}}$$ = 5
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2}}$$ = 2
a = 1, b = -7, c = 10.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-40}$$ = 9.
x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7+3}{2} = \frac{10}{2}}$$ = 5
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {9}}{2\cdot 1} = \frac{7-3}{2} = \frac{4}{2}}$$ = 2
(x-5)* (x-2) > 0$$(x-5)\cdot (x-2)$$ > $$0$$
Parabolė kerta x ašį taškuose x = 2 ir x = 5. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl apibrėžimo sritis yra (-∞; 2) U (; 5; ∞)
Atsakymas: (-∞; 2) U (; 5; ∞)
2. Raskite visas x reikšmes, su kuriomis funkcijos f(x) reikšmės yra ne mažesnės už –2.
Sprendimas.
log(1/2, x^2- 7* x+10) ≥
-2
-2
|
|
log(1/2, x^2- 7* x+10) ≥ -2$$log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10)$$ ≥ $$-2$$
Pasikeičia nelygybės ženklas, nes logartimo pagrindas $${\normalsize \frac{1}{2}}$$ < 1
x^2- 7* x+10 ≤ (
)^(-2)$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$
| 1 |
| / 2 |
x^2- 7* x+10 ≤ (
)^(-2)$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$
| 1 |
| / 2 |
$${\normalsize (\frac{1}{2})^{(-2)}}$$ = $${\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}}$$
x^2- 7* x+10 ≤
$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$\frac{2^{2}}{1^{2}}$$
| 2^2 |
| / 1^2 |
$${\normalsize \frac{2^{2}}{1^{2}}}$$ = $${\normalsize 4}$$
x^2- 7* x+10 ≤ 4$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$4$$
x^2- 7* x+10-4 ≤ 0$$x^{2}-7\cdot x+10-4$$ ≤ $$0$$
$${\normalsize 10-4}$$ = $${\normalsize 6}$$
x^2- 7* x+6 ≤ 0$$x^{2}-7\cdot x+6$$ ≤ $$0$$
$${\normalsize x^{2}-7\cdot x+6}$$ = $${\normalsize (x-6)\cdot (x-1)}$$ Paaiškinimas:
Paaiškinimas: Kvadratinis trinaris $${\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$$, kur
a = 1, b = -7, c = 6.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-24}$$ = 25.
x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2}}$$ = 6
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7-5}{2} = \frac{2}{2}}$$ = 1
a = 1, b = -7, c = 6.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 49-24}$$ = 25.
x1 = $${\normalsize \frac{7+\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2}}$$ = 6
x2 = $${\normalsize \frac{7-\sqrt {25}}{2\cdot 1} = \frac{7-5}{2} = \frac{2}{2}}$$ = 1
(x-6)* (x-1) ≤ 0$$(x-6)\cdot (x-1)$$ ≤ $$0$$
$$log_{1/2}(x^{2}-7\cdot x+10)$$ ≥ $$-2$$
$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$(\frac{1}{2})^{(-2)}$$
$$x^{2}-7\cdot x+10$$ ≤ $$4$$
$$x^{2}-7\cdot x+10-4$$ ≤ $$0$$
$$x^{2}-7\cdot x+6$$ ≤ $$0$$
$$(x-6)\cdot (x-1)$$ ≤ $$0$$
Parabolė kerta x ašį taškuose x = 1 ir x = 6. Parabolės šakos nukreiptos į viršų, todėl x priklauso [1; 6]
Atsižvelgus į apibrėžimo sritį gauname, kad x priklauso [1; 2) U (5; 6]
Atsakymas: x priklauso [1; 2) U (5; 6]