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1. Raskite taško A koordinates

Funkcijos f(x) išvestinė taške A lygi kampo a tangentui:

 ( 

x^3

/ 216

)′  = 
2

 ( 

x^3

/ 216

)′ = 2$$(\frac{x^{3}}{216})'$$ = $$2$$

$${\normalsize (\frac{x^{3}}{216})'}$$ = $${\normalsize \frac{1}{72}\cdot x^{2}}$$

Paaiškinimas:

Laipsnio išvestinė, kur n = 3

 

1

/ 72

* x^² = 2$$\frac{1}{72}\cdot x^{2}$$ = $$2$$

$${\normalsize \frac{1}{72}\cdot x^{2}}$$ = $${\normalsize \frac{x^{2}}{72}}$$

 

x^2

/ 72

 = 2$$\frac{x^{2}}{72}$$ = $$2$$

 x^² =  2* 72$$x^{2}$$ = $$2\cdot 72$$

$${\normalsize 2\cdot 72}$$ = $${\normalsize 144}$$

 x^² = 144$$x^{2}$$ = $$144$$

saknis( x^²) = saknis(144)$$\sqrt {x^{2}}$$ = $$\sqrt {144}$$

$${\normalsize \sqrt {x^{2}}}$$ = $${\normalsize x}$$

x = saknis(144)$$x$$ = $$\sqrt {144}$$

$${\normalsize \sqrt {144}}$$ = $${\normalsize 12}$$

x = 12$$x$$ = $$12$$

$$(\frac{x^{3}}{216})'$$  = $$2$$

$$\frac{1}{72}\cdot x^{2}$$  = $$2$$

$$x^{2}$$  = $$2\cdot 72$$

$$x^{2}$$  = $$144$$

$$x$$  = $$\sqrt {144}$$

$$x$$  = $$12$$

(x^3/216)′  =  2

1/72*x^2  =  2

x^2  =  2*72

x^2  =  144

x  =  saknis(144)

x  =  12

taško A x koordinatė yra 12; 

y koordinatė lygi 

 

12^3

/ 216

  = 

 

12^3

/ 216

 = $$\frac{12^{3}}{216}$$ = 

Laipsnis: a^n = a * a * a ... a, čia a = 12, n = 3

 

12* 12* 12

/ 216

 = $$\frac{12\cdot 12\cdot 12}{216}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{216}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{18}}$$

 

12* 12

/ 18

 = $$\frac{12\cdot 12}{18}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{18}}$$ = $${\normalsize \frac{2}{3}}$$

 

2* 12

/ 3

 = $$\frac{2\cdot 12}{3}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{3}}$$ = $${\normalsize 4}$$

 

2* 4

/ 1

 = $$\frac{2\cdot 4}{1}$$ = 

$${\normalsize \frac{2\cdot 4}{1}}$$ = $${\normalsize 8}$$

8$$8$$

$$\frac{12^{3}}{216}$$  = $$$$

$$\frac{12\cdot 12\cdot 12}{216}$$  = $$$$

$$\frac{12\cdot 12}{18}$$  = $$$$

$$\frac{2\cdot 12}{3}$$  = $$$$

$$8$$ $$$$

12^3/216  = 

12*12*12/216  = 

12*12/18  = 

2*12/3  = 

8

Atsakymas: (12; 8)

2. Parodykite, kad liestinės AB lygtis yra  y = 2x - 16

Tiesės, einančios per tašką M(x1, y1), lygtis yra $$y-y_{1} = k\cdot (x-x_{1})$$

y-y_₁  = 
 k* (x-x_₁)

y-y_₁ =  k* (x-x_₁)$$y-y_{1}$$ = $$k\cdot (x-x_{1})$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize x_{1}}$$ = $${\normalsize 12}$$.

y-y_₁ =  k* (x-12)$$y-y_{1}$$ = $$k\cdot (x-12)$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize y_{1}}$$ = $${\normalsize 8}$$.

y-8 =  k* (x-12)$$y-8$$ = $$k\cdot (x-12)$$

Paaiškinimas:

Keitimas $${\normalsize k}$$ = $${\normalsize 2}$$.

y-8 =  2* (x-12)$$y-8$$ = $$2\cdot (x-12)$$

y =  2* (x-12)+8$$y$$ = $$2\cdot (x-12)+8$$

$${\normalsize 2\cdot (x-12)}$$ = $${\normalsize 2\cdot x-2\cdot 12}$$

y =  2* x- 2* 12+8$$y$$ = $$2\cdot x-2\cdot 12+8$$

$${\normalsize 2\cdot 12}$$ = $${\normalsize 24}$$

y =  2* x-24+8$$y$$ = $$2\cdot x-24+8$$

$${\normalsize -24+8}$$ = $${\normalsize -16}$$

y =  2* x-16$$y$$ = $$2\cdot x-16$$

$$y-y_{1}$$  = $$k\cdot (x-x_{1})$$

$$y-8$$  = $$2\cdot (x-12)$$

$$y$$  = $$2\cdot x-2\cdot 12+8$$

$$y$$  = $$2\cdot x-16$$

y-y_1  =  k*(x-x_1)

y-8  =  2*(x-12)

y  =  2*x-2*12+8

y  =  2*x-16

3. Raskite liestinės susikirtimo su Oy ašimi taško B koordinates

Taško B x koordinatė yra 0,

y koordinatę gausime į leistinės lygtį įsistatę x = 0

$$y = 2\cdot x-16 = 2\cdot 0-16 = -16$$

Atsakymas: (0; -16)

4.

Sprendimas.

Keturkampio OCAD plotas lygus 12 * 8 = 96

Figūros OAD plotas lygus funkcijos integralui nuo 0 iki 12

∫(_0;^12; 

x^3

/ 216

)  = 

∫(_0;^12; 

x^3

/ 216

) = $$\int_{0}^{12} (\frac{x^{3}}{216})$$ = 

$${\normalsize \int_{0}^{12} (\frac{x^{3}}{216})}$$ = $${\normalsize (\frac{1}{864}\cdot x^{4}){\LARGE |}_{0}^{12}}$$

Paaiškinimas:

Laipsnio integralas, kur n = 3

|(_0;^12; 

1

/ 864

* x^⁴) = $$(\frac{1}{864}\cdot x^{4}){\LARGE |}_{0}^{12}$$ = 

$${\normalsize \frac{1}{864}\cdot x^{4}}$$ = $${\normalsize \frac{x^{4}}{864}}$$

|(_0;^12; 

x^4

/ 864

) = $$(\frac{x^{4}}{864}){\LARGE |}_{0}^{12}$$ = 

$${\normalsize (\frac{x^{4}}{864}){\LARGE |}_{0}^{12}}$$ = $${\normalsize (\frac{12^{4}}{864}-\frac{0^{4}}{864})}$$

Paaiškinimas:

$${\normalsize (F(x)){\LARGE |}_{a}^{b} = F(b)-F(a)}$$, čia F(x) = x^4/864 a = 0, b = 12

 

12^4

/ 864

- 

0^4

/ 864

 = $$\frac{12^{4}}{864}-\frac{0^{4}}{864}$$ = 

 

12^4

/ 864

 = $$\frac{12^{4}}{864}$$ = 

Laipsnis: a^n = a * a * a ... a, čia a = 12, n = 4

 

12* 12* 12* 12

/ 864

 = $$\frac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}{864}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{864}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{72}}$$

 

12* 12* 12

/ 72

 = $$\frac{12\cdot 12\cdot 12}{72}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{72}}$$ = $${\normalsize \frac{1}{6}}$$

 

12* 12

/ 6

 = $$\frac{12\cdot 12}{6}$$ = 

$${\normalsize \frac{12}{6}}$$ = $${\normalsize 2}$$

 

2* 12

/ 1

 = $$\frac{2\cdot 12}{1}$$ = 

$${\normalsize \frac{2\cdot 12}{1}}$$ = $${\normalsize 24}$$

24$$24$$

$$\int_{0}^{12} (\frac{x^{3}}{216})$$  = $$$$

$$(\frac{x^{4}}{864}){\LARGE |}_{0}^{12}$$  = $$$$

$$\frac{12^{4}}{864}-\frac{0^{4}}{864}$$  = $$$$

$$\frac{12^{4}}{864}$$  = $$$$

$$\frac{12\cdot 12\cdot 12\cdot 12}{864}$$  = $$$$

$$\frac{12\cdot 12\cdot 12}{72}$$  = $$$$

$$\frac{12\cdot 12}{6}$$  = $$$$

$$24$$ $$$$

∫(0;12;x^3/216)  = 

|(0;12;x^4/864)  = 

12^4/864-0^4/864  = 

12^4/864  = 

12*12*12*12/864  = 

12*12*12/72  = 

12*12/6  = 

24

Figūros AOC plotas 96 - 24 = 72

Trikampio ABC plotas yra $$\frac{1}{2}\cdot 12\cdot (16+8) = 6\cdot (24) = 144$$ t.y. dvigubai didesnis už figūros AOC, todėl AOC plotas lygus figūros ABO plotui.