27 uždavinys

Sprendimas.

Pirmas, antras ir trečias skaičiai sudaro aritmetinę progresiją, todėl

pirmas skaičius lygus x, antras x + d, trečias x + 2d

x + (x + d) + (x + 2d) = 12

3x + 3d = 12 (1)

Antras, trečias ir ketvirtas skaičiai sudaro geometrinę progresiją, todėl

antras skaičius x + d

trečias skaičius (x + d)q

ketvirtas skaičius $$(x+d)\cdot q^{2}$$

$$(x+d)+(x+d)\cdot q+(x+d)\cdot q^{2} = 19$$ (2)

x + 2d = (x + d)q (trečiasis skaičius tiek aritmetinėje, tiek geometrinėje progresijoje)

Trijų lygčių sistema:

3x + 3d = 12 (1)

$$(x+d)+(x+d)\cdot q+(x+d)\cdot q^{2} = 19$$ (2)

x + 2d = (x + d)q (3)

Iš pirmos lygties išsireiškiam x + d

x + d = 4 (4)

Gautą x + d statom į antrą lygtį:

$$4+4\cdot q+4\cdot q^{2} = 19$$ 

4+ 4* q+ 4* q^²  = 
19

4+ 4* q+ 4* q^² = 19$$4+4\cdot q+4\cdot q^{2}$$ = $$19$$

 4* q^²+4+ 4* q = 19$$4\cdot q^{2}+4+4\cdot q$$ = $$19$$

 4* q^²+ 4* q+4 = 19$$4\cdot q^{2}+4\cdot q+4$$ = $$19$$

 4* q^²+ 4* q+4-19 = 0$$4\cdot q^{2}+4\cdot q+4-19$$ = $$0$$

$${\normalsize 4-19}$$ = $${\normalsize -15}$$

 4* q^²+ 4* q-15 = 0$$4\cdot q^{2}+4\cdot q-15$$ = $$0$$

$${\normalsize 4\cdot q^{2}+4\cdot q-15}$$ = $${\normalsize (2\cdot q-3)\cdot (2\cdot q+5)}$$

Paaiškinimas:

Kvadratinis trinaris $${\normalsize a\cdot x^{2}+b\cdot x+c}$$, kur
a = 4, b = 4, c = -15.
Diskriminantas $${\normalsize D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = 16-(-240)}$$ = 256.

x1 = $${\normalsize \frac{-4+\sqrt {256}}{2\cdot 4} = \frac{-4+16}{8} = \frac{-1+4}{2} = \frac{3}{2}}$$ = 3
x2 = $${\normalsize \frac{-4-\sqrt {256}}{2\cdot 4} = \frac{-4-16}{8} = \frac{-1-4}{2} = \frac{-5}{2}}$$ = -5

 ( 2* q-3)* ( 2* q+5) = 0$$(2\cdot q-3)\cdot (2\cdot q+5)$$ = $$0$$

Gavome 2q = 3 ir 2q = -5; q = 1.5 ir q = -2.5

Kadangi skaičiai teigiami, geometrinės progresijos daugiklis q gali būti tik teigiamas: q = 1.5

Į trečia lygti statome x + d = 4 ir q = 1.5

x + 2d = (x + d)q 

(x + d) + d = (x + d)q 

4 + d = 4 * 1.5

d = 6 - 4

d = 2

Gautą d reikšmę statome į x + d išraišką (4):

x + d = 4

x + 2 = 4

x = 2

Antras skaičius lygus x + d = 2 + 2 = 4;

Trečias skaičius lygus 4 + 2  = 6

Ketvirtas skaičius lygus 6 * 1.5 = 9

Atsakymas: 2; 4; 6; 9