19 uždavinys

Duota n skirtingų natūraliųjų skaičių, sudarančių didėjančią aritmetinę progresiją. Skaičius n yra ne mažesnis už 3.

1. Ar šių skaičių suma gali būti lygi 21? Atsakymą pagrįskite.

Sprendimas:

6 + 7 + 8 = 21

Atsakymas: Gali

2. Tarkime, kad duotų n skaičių suma yra mažesnė už 1009. Kokią didžiausią reikšmę gali įgyti skaičius n?

Sprendimas:

$$S_{n} = \frac{(2\cdot a_{1}+d\cdot (n-1))\cdot n}{2}$$

Pats mažiausias įmanomas pirmasis sekos narys a₁ = 1.

Pats mažiausias įmanomas aritmetinės progresijos skirtumas d = 1.

Tuomet pirmų n narių suma yra $$S_{n} = \frac{(2+1\cdot (n-1))\cdot n}{2} = \frac{(2+n-1)\cdot n}{2} = \frac{(n+1)\cdot n}{2}$$

 

(n+1)* n

/ 2

  < 
1009

 

(n+1)* n

/ 2

 < 1009$$\frac{(n+1)\cdot n}{2}$$ < $$1009$$

 (n+1)* n <  1009* 2$$(n+1)\cdot n$$ < $$1009\cdot 2$$

 (n+1)* n < 2018$$(n+1)\cdot n$$ < $$2018$$

 n* n+ 1* n < 2018$$n\cdot n+1\cdot n$$ < $$2018$$

 n^²+ 1* n < 2018$$n^{2}+1\cdot n$$ < $$2018$$

 n^²+n < 2018$$n^{2}+n$$ < $$2018$$

 n^²+n-2018 < 0$$n^{2}+n-2018$$ < $$0$$

Paaiškinimas:

 (n- 

(-1+ 3* saknis(897))

/ 2

)* (n- 

(-1- 3* saknis(897))

/ 2

) < 0$$(n-\frac{-1+3\cdot \sqrt {897}}{2})\cdot (n-\frac{-1-3\cdot \sqrt {897}}{2})$$ < $$0$$

n- 

(-1+ 3* saknis(897))

/ 2

= 0$$n-\frac{-1+3\cdot \sqrt {897}}{2}$$ = $$0$$

n <  

(-1+ 3* saknis(897))

/ 2

+0$$n$$ < $$\frac{-1+3\cdot \sqrt {897}}{2}+0$$

n <  

(-1+ 3* saknis(897))

/ 2

$$n$$ < $$\frac{-1+3\cdot \sqrt {897}}{2}$$

n <  

(-1+ 3* 29.95)

/ 2

$$n$$ < $$\frac{-1+3\cdot 29.95}{2}$$

n <  

(-1+89.85)

/ 2

$$n$$ < $$\frac{-1+89.85}{2}$$

n <  

88.85

/ 2

$$n$$ < $$\frac{88.85}{2}$$

n < 44.425$$n$$ < $$44.425$$

Atsakymas: 44