20 uždavinys

Ant kubo ABCDA₁B₁C₁D₁ kraštinės CC₁ atidėtas taškas E taip, kad atkarpa EC₁ yra 2 kartus ilgesnė už atkarpą EC.

Raskite kampą tarp tiesių, einančių per BE ir AC₁.

Sprendimas:

Tarkime, kubo kraštinė lygi 1.

$$AC_{1}^{2} = 1^{2}+1^{2}+1^{2} = 3$$

Pažymime tašką F analogišką taškui E, t.y. FD = $$\frac{1}{3}\cdot DD_{1}$$.

Ieškomas kampas lygus ∠FAC₁, nes, AF || BE

Pagal Pitagoro teoremą

$$AF^{2} = 1^{2}+(\frac{1}{3})^{2} = 1+\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$$

$$FC_{1}^{2} = 1^{2}+(\frac{2}{3})^{2} = 1+\frac{4}{9} = \frac{13}{9}$$

Pagal kosinusų teoremą

$$FC_{1}^{2} = AF^{2}+AC_{1}^{2}-2\cdot AF\cdot AC_{1}\cdot cos(A)$$

 

13

/ 9

  = 
 

10

/ 9

+3- 2* saknis( 

10

/ 9

)* saknis(3)* cos(A)

 

13

/ 9

 =  

10

/ 9

+3- 2* saknis( 

10

/ 9

)* saknis(3)* cos(A)$$\frac{13}{9}$$ = $$\frac{10}{9}+3-2\cdot \sqrt {\frac{10}{9}}\cdot \sqrt {3}\cdot cos(A)$$

 2* saknis( 

10

/ 9

)* saknis(3)* cos(A)+ 

13

/ 9

 =  

10

/ 9

+3$$2\cdot \sqrt {\frac{10}{9}}\cdot \sqrt {3}\cdot cos(A)+\frac{13}{9}$$ = $$\frac{10}{9}+3$$

 2* saknis( 

10

/ 9

)* saknis(3)* cos(A) =  

10

/ 9

- 

13

/ 9

+3$$2\cdot \sqrt {\frac{10}{9}}\cdot \sqrt {3}\cdot cos(A)$$ = $$\frac{10}{9}-\frac{13}{9}+3$$

 

2* saknis(30)

/ 3

* cos(A) =  

10

/ 9

- 

13

/ 9

+3$$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$ = $$\frac{10}{9}-\frac{13}{9}+3$$

 

2* saknis(30)

/ 3

* cos(A) = - 

1

/ 3

+3$$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$ = $$-\frac{1}{3}+3$$

 

2* saknis(30)

/ 3

* cos(A) =  

8

/ 3

$$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$ = $$\frac{8}{3}$$

 

saknis(30)

/ 3

* cos(A) =  

8

/ 3/ 2

$$\frac{\sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$ = $$\frac{8}{3\cdot 2}$$

 

saknis(30)

/ 3

* cos(A) =  

8

/ 6

$$\frac{\sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$ = $$\frac{8}{6}$$

 

cos(A)* saknis(30)

/ 3

 =  

8

/ 6

$$\frac{cos(A)\cdot \sqrt {30}}{3}$$ = $$\frac{8}{6}$$

 cos(A)* saknis(30) =  

8* 3

/ 6

$$cos(A)\cdot \sqrt {30}$$ = $$\frac{8\cdot 3}{6}$$

cos(A) =  

8* 3

/ 6/ saknis(30)

$$cos(A)$$ = $$\frac{8\cdot 3}{6\cdot \sqrt {30}}$$

cos(A) =  

4

/ saknis(30)

$$cos(A)$$ = $$\frac{4}{\sqrt {30}}$$

cos(A) =  

4* saknis(30)

/ saknis(30)/ saknis(30)

$$cos(A)$$ = $$\frac{4\cdot \sqrt {30}}{\sqrt {30}\cdot \sqrt {30}}$$

cos(A) =  

4* saknis(30)

/ 30

$$cos(A)$$ = $$\frac{4\cdot \sqrt {30}}{30}$$

cos(A) =  

2* saknis(30)

/ 15

$$cos(A)$$ = $$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15}$$

arccos(cos(A)) = arccos( 

2* saknis(30)

/ 15

)$$arccos(cos(A))$$ = $$arccos(\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15})$$

A = arccos( 

2* saknis(30)

/ 15

)$$A$$ = $$arccos(\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15})$$

$$\frac{13}{9}$$  = $$\frac{10}{9}+3-2\cdot \sqrt {\frac{10}{9}}\cdot \sqrt {3}\cdot cos(A)$$

$$2\cdot \sqrt {\frac{10}{9}}\cdot \sqrt {3}\cdot cos(A)$$  = $$\frac{10}{9}-\frac{13}{9}+3$$

$$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{3}\cdot cos(A)$$  = $$\frac{8}{3}$$

$$\frac{cos(A)\cdot \sqrt {30}}{3}$$  = $$\frac{8}{6}$$

$$cos(A)$$  = $$\frac{4}{\sqrt {30}}$$

$$cos(A)$$  = $$\frac{4\cdot \sqrt {30}}{30}$$

$$cos(A)$$  = $$\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15}$$

$$A$$  = $$arccos(\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15})$$

13/9  =  10/9+3-2*saknis(10/9)*saknis(3)*cos(A)

2*saknis(10/9)*saknis(3)*cos(A)  =  10/9-13/9+3

2*saknis(30)/3*cos(A)  =  8/3

cos(A)*saknis(30)/3  =  8/6

cos(A)  =  4/saknis(30)

cos(A)  =  4*saknis(30)/30

cos(A)  =  2*saknis(30)/15

A  =  arccos(2*saknis(30)/15)

Atsakymas: $$arccos(\frac{2\cdot \sqrt {30}}{15})$$