21 uždavinys

Duota funkcija f(x) = $$\frac{x^{2}\cdot log_{2}(x)-log_{2}(x)}{x-1}$$

1. Apskaičiuokite f(2).

Sprendimas:

 

( x^2* log(2,x)-log(2,x))

/ (x-1)

  = 

 

( x^2* log(2,x)-log(2,x))

/ (x-1)

 = $$\frac{x^{2}\cdot log_{2}(x)-log_{2}(x)}{x-1}$$ = 

Paaiškinimas:

 

log(2,x)* ( x^2-1)

/ (x-1)

 = $$\frac{log_{2}(x)\cdot (x^{2}-1)}{x-1}$$ = 

Paaiškinimas:

 

log(2,x)* (x+1)* (x-1)

/ (x-1)

 = $$\frac{log_{2}(x)\cdot (x+1)\cdot (x-1)}{x-1}$$ = 

 log(₂,x)* (x+1) = $$log_{2}(x)\cdot (x+1)$$ = 

Paaiškinimas:

 log(₂,2)* (2+1) = $$log_{2}(2)\cdot (2+1)$$ = 

 1* (2+1) = $$1\cdot (2+1)$$ = 

 1* 3 = $$1\cdot 3$$ = 

3$$3$$

Atsakymas: 3

2. Apskaičiuokite f'(4).

Sprendimas:

 ( log(₂,x)* (x+1))′  = 

 ( log(₂,x)* (x+1))′ = $$(log_{2}(x)\cdot (x+1))'$$ = 

Paaiškinimas:

( log(₂,x)′* (x+1)+ log(₂,x)* (x+1)′) = $$(log_{2}(x)'\cdot (x+1)+log_{2}(x)\cdot (x+1)')$$ = 

 log(₂,x)′* (x+1)+ log(₂,x)* (x+1)′ = $$log_{2}(x)'\cdot (x+1)+log_{2}(x)\cdot (x+1)'$$ = 

Paaiškinimas:

 

1

/ x/ ln(2)

* (x+1)+ log(₂,x)* (x+1)′ = $$\frac{1}{x\cdot ln(2)}\cdot (x+1)+log_{2}(x)\cdot (x+1)'$$ = 

Paaiškinimas:

 

1

/ x/ ln(2)

* (x+1)+ log(₂,x)* 1 = $$\frac{1}{x\cdot ln(2)}\cdot (x+1)+log_{2}(x)\cdot 1$$ = 

 

1

/ x/ ln(2)

* (x+1)+log(₂,x) = $$\frac{1}{x\cdot ln(2)}\cdot (x+1)+log_{2}(x)$$ = 

Paaiškinimas:

 

1

/ 4/ ln(2)

* (4+1)+log(₂,4) = $$\frac{1}{4\cdot ln(2)}\cdot (4+1)+log_{2}(4)$$ = 

 

1

/ 4/ ln(2)

* 5+log(₂,4) = $$\frac{1}{4\cdot ln(2)}\cdot 5+log_{2}(4)$$ = 

 

5

/ 4/ ln(2)

+log(₂,4) = $$\frac{5}{4\cdot ln(2)}+log_{2}(4)$$ = 

 

5

/ 4/ ln(2)

+2$$\frac{5}{4\cdot ln(2)}+2$$

Atsakymas: $$\frac{5}{4\cdot ln(2)}+2$$

3. Raskite didžiausią funkcijos f (x) reikšmę intervale [2; 8].

Sprendimas:

Kai x priklauso [2; 8 ], išvestinė $$\frac{x+1}{x\cdot ln(2)}+log_{2}(x) > 0$$, todėl duotoji funkcija intervale [2;8] didėja.

Randame f(8):

 (x+1)* log(₂,x)  = 

 (x+1)* log(₂,x) = $$(x+1)\cdot log_{2}(x)$$ = 

Paaiškinimas:

 (8+1)* log(₂,8) = $$(8+1)\cdot log_{2}(8)$$ = 

 9* log(₂,8) = $$9\cdot log_{2}(8)$$ = 

 9* 3 = $$9\cdot 3$$ = 

27$$27$$

Atsakymas: 27