20 uždavinys

Sprendimas:

$$(4\cdot x^{3}-9\cdot x^{2}+6\cdot x)' = (4\cdot x^{3})'-(9\cdot x^{2})'+(6\cdot x)' = 12\cdot x^{2}-18\cdot x+6$$

Atsakymas: $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6$$

----------------------------------------------------------

Sprendimas:

Funkcija didėja, kai jos išvestinė teigiama, t.y. f'(x) > 0

 $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6 > 0$$

 $$2\cdot x^{2}-3\cdot x+1 > 0$$

     $$D = b^{2}-4\cdot a\cdot c = (-3)^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 9-8 = 1$$

     $$x_{1} = \frac{3-\sqrt {1}}{2} = \frac{3-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$.

     $$x_{2} = \frac{3+\sqrt {1}}{2} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$.

 $$2\cdot (x-\frac{1}{2})\cdot (x-1) > 0$$

Pagal intervalų metodą x ∈ (-∞; $$\frac{1}{2}$$) U (1; +∞) [/f]

Atsakymas: x ∈ (-∞; $$\frac{1}{2}$$) U (1; +∞) [/f]

Sprendimas:

Liestinės krypties koeficientas - tai funkcijos išvestinės reikšmė.

Raskime mažiausią funkcijos  $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6 > 0$$ reikšmę, jos išvestinę prilyginsime nuliui:

$$(12\cdot x^{2}-18\cdot x+6)' = 0$$ 

$$(12\cdot x^{2})'-(18\cdot x)'+(6)' = 0$$ 

$$24\cdot x-18 = 0$$ 

$$24\cdot x = 18$$ 

$$x = \frac{18}{24}$$ 

$$x = \frac{3}{4} = 0.75$$ 

Funkcijos  $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6 > 0$$  reikšmė taške $$x = 0.75$$ lygi 

$$12\cdot (0.75)^{2}-18\cdot (0.75)+6 = 6.75-13.5+6 = -0.75$$ 

Tai yra pati mažiausia galima funkcijos  $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6$$ reikšmė (parabolė, kurios šakos nukreiptos į viršų).

Taigi, pradinės funkcijos išvestinė $$12\cdot x^{2}-18\cdot x+6$$ niekada negali būti lygi -1, todėl ir liestinės grafiko krypties koeficientas negali būti lygus -1

Sprendimas:

$$\int_{-1}^{a} (4\cdot x^{3}-9\cdot x^{2}+6\cdot x) = -3\cdot a^{3}-7$$

$$(\frac{4\cdot x^{4}}{4}-\frac{9\cdot x^{3}}{3}+\frac{6\cdot x^{2}}{2}){\LARGE |}_{-1}^{a} = -3\cdot a^{3}-7$$

$$(x^{4}-3\cdot x^{3}+3\cdot x^{2}){\LARGE |}_{-1}^{a} = -3\cdot a^{3}-7$$

$$(a^{4}-3\cdot a^{3}+3\cdot a^{2})-((-1)^{4}-3\cdot (-1)^{3}+3\cdot (-1)^{2}) = -3\cdot a^{3}-7$$

$$a^{4}-3\cdot a^{3}+3\cdot a^{2}-(1-3\cdot (-1)+3\cdot 1) = -3\cdot a^{3}-7$$

$$a^{4}-3\cdot a^{3}+3\cdot a^{2}-(1+3+3) = -3\cdot a^{3}-7$$

$$a^{4}-3\cdot a^{3}+3\cdot a^{2}-7 = -3\cdot a^{3}-7$$

$$a^{4}-3\cdot a^{3}+3\cdot a^{2} = -3\cdot a^{3}$$

$$a^{4}+3\cdot a^{2} = 0$$

$$a^{2}\cdot (a^{2}+3) = 0$$

 $$a = 0$$

Atsakymas: a = 0