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Duota funkcija f (x) = 4log4(2 + x) + log2(1 - x).
1. Nustatykite f (x) apibrėžimo sritį.
Sprendimas:
Logaritmuojami reiškiniai turi būti teigiami:
2 + x > 0
1 - x > 0
x > - 2
x < 1
Sankirta:
Atsakymas: x priklauso (-2;1)
2. Įrodykite, kad , f ' (x) = $$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(x+2)\cdot (x-1)}$$ , kai - 2 < x < 1.
Sprendimas:
( 4* log(4,2+x)+log(2,1-x))′ =
( 4* log(4,2+x)+log(2,1-x))′ = $$(4\cdot log_{4}(2+x)+log_{2}(1-x))'$$ =
+ log(2,1-x)′ = $$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}+log_{2}(1-x)'$$ = - = $$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = - = $$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(2^{2})}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = - = $$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot 2\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = - = $$\frac{2}{(2+x)\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = | ( 2* (1-x)-(2+x)) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{2\cdot 1-x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | ( 2* 1- 2* x-(2+x)) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{2\cdot 1-2\cdot x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | ( 2* 1- 2* x-2-x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{2\cdot 1-2\cdot x-2-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | ( 2* 1-2- 2* x-x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{2\cdot 1-2-2\cdot x-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | (0- 2* x-x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{0-2\cdot x-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | (0- 3* x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{0-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | (- 3* x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (1-x) |
= $$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = | (- 3* x) |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (- 1* (x-1)) |
= $$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (-1\cdot (x-1))}$$ = | 3* x |
|
| / (2+x)/ ln(2)/ (x-1) |
= $$\frac{3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (x-1)}$$ = | 3* x |
|
| / ln(2)/ (2+x)/ (x-1) |
= $$\frac{3\cdot x}{ln(2)\cdot (2+x)\cdot (x-1)}$$ = * $$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$$
$$(4\cdot log_{4}(2+x)+log_{2}(1-x))'$$ = $$$$
$$4\cdot log_{4}(2+x)'+log_{2}(1-x)'$$ = $$$$
$$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}+log_{2}(1-x)'$$ = $$$$
$$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot ln(4)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = $$$$
$$\frac{4\cdot 1}{(2+x)\cdot 2\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = $$$$
$$\frac{2}{(2+x)\cdot ln(2)}-\frac{1}{(1-x)\cdot ln(2)}$$ = $$$$
$$\frac{2\cdot 1-x-(2+x)}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = $$$$
$$\frac{2\cdot 1-2\cdot x-2-x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = $$$$
$$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (1-x)}$$ = $$$$
$$\frac{-3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (-1\cdot (x-1))}$$ = $$$$
$$\frac{3\cdot x}{(2+x)\cdot ln(2)\cdot (x-1)}$$ = $$$$
$$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)}$$ $$$$
(4*log(4,2+x)+log(2,1-x))′ =
4*log(4,2+x)′+log(2,1-x)′ =
4*1/(2+x)/ln(4)+log(2,1-x)′ =
4*1/(2+x)/ln(4)-1/(1-x)/ln(2) =
4*1/(2+x)/2/ln(2)-1/(1-x)/ln(2) =
2/(2+x)/ln(2)-1/(1-x)/ln(2) =
(2*(1-x)-(2+x))/(2+x)/ln(2)/(1-x) =
(2*1-2*x-2-x)/(2+x)/ln(2)/(1-x) =
(-3*x)/(2+x)/ln(2)/(1-x) =
(-3*x)/(2+x)/ln(2)/(-1*(x-1)) =
3. Išspręskite nelygybę f ' (x) ≥ 0.
Sprendimas:
$$\frac{3}{ln(2)}\cdot \frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)} ≥ 0$$
$$\frac{x}{(2+x)\cdot (x-1)} ≥ 0$$
Kairioji pusė lygi nuliui arba yra neapibrėžta kai x = 0; 2 + x = 0; x - 1 = 0.
Tai yra taškai x = -2; x = 0; x = 1.
Kai x < - 2 (pvz x = - 3), kairioji pusė neigiama.
Kai -2 < x ≤ 0 (pvz x = -1), kairioji pusė teigiama arba lygi nuliui.
Kai 0 < x < 1, kairioji pusė neigiama,
Kai x > 1, kairioji pusė teigiama.
Kairioji pusė teigiama arba lygi nului, kai x priklauso (-2; 0] ∪ (1; +∞)
Pirmoje dalyje rasta apibrėžimo sritis:
Sankirta:
Atsakymas: x priklauso (-2; 0]
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