23 uždavinys

Sprendimas:

Tetraedro siena - lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė lygi 6.

Lygiakraščio trikampio plotas lygus $$S = \frac{a^{2}\cdot \sqrt {3}}{4} = \frac{6^{2}\cdot \sqrt {3}}{4} = \frac{36\cdot \sqrt {3}}{4} = 9\cdot \sqrt {3}$$

Tetraedrą sudaro keturi tokie lygiakraščiai trikampiai, todėl visas tetraedro paviršiaus plotas lygus

$$4\cdot 9\cdot \sqrt {3} = 36\cdot \sqrt {3}$$

Atsakymas: $$36\cdot \sqrt {3}$$

Sprendimas:

Kampas tarp CD ir plokštumos ABC lygus kampui tarp CD ir jos projekcijos OC, t.y. kampas ∠OCD

Pagal Pitagoro teoremą $$EC^{2} = \sqrt {AC^{2}-EA^{2}} = \sqrt {6^{2}-3^{2}} = \sqrt {36-9} = \sqrt {27} = 3\cdot \sqrt {3}$$

OC yra lygus dviems trečdaliams EC:

$$OC = \frac{2}{3}\cdot 3\cdot \sqrt {3} = 2\cdot \sqrt {3}$$

Trikampis OCD status, kampo ∠OCD kosinusas lygus statinio prie kampo ir įžambinės santykiui:

cos(∠OCD) = $$\frac{OC}{CD} = \frac{2\cdot \sqrt {3}}{6} = \frac{\sqrt {3}}{3}$$

Atsakymas: $$\frac{\sqrt {3}}{3}$$

Sprendimas:

Plokštuma ECD statmena tiesei AB, nes DE ⊥ AB ir EC ⊥ AB.

Todėl ir bet kuri plokštumos ECD tiesė, įskaitant tiesę EF, statmena tiesei AB.

Sprendimas:

Atstumas tarp prasilenkiančių tiesių lygus bendro statmens ilgiui.

3 - ioje dalyje buvo įrodyta, kad EF ⊥ AB.

Analogiškai galima įrodyti, kad EF ⊥ CD.

Taigi, EF yra bendras statmuo tiesėms AB ir CD.

Įrodyta.